Contenido
- etapas
- Para empezar
- Método 1 Proceda por prueba y error
- Método 2 Proceder por descomposición
- Método 3 El "juego triple"
- Método 4 Diferencia de dos cuadrados
- Método 5 de 5: Usa la fórmula cuadrática
- Método 6 de 4: Usa una calculadora
Un polinomio se compone de una variable (x) elevada a una determinada potencia llamada grado del polinomio, y varios otros términos de grados inferiores y / o varias otras constantes. Factorizar un polinomio de segundo grado (también llamado "ecuación cuadrática") significa reducir la expresión inicial a un producto de expresiones de grados más pequeños que luego se pueden multiplicar uno por el otro. Este conocimiento es parte del curso de la escuela secundaria y más, por lo que este artículo puede ser difícil de entender si aún no tiene el nivel requerido de matemáticas.
etapas
Para empezar
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Escribe tu expresión. La forma estándar de una ecuación de segundo grado es:ax + bx + c = 0
Comience ordenando los términos de su ecuación de acuerdo con el orden de las potencias, de mayor a menor, como en la forma estándar. Toma por ejemplo:6 + 6x + 13x = 0
Reorganizaremos esta expresión para facilitar el trabajo simplemente moviendo los términos:6x + 13x + 6 = 0. -
Encuentre la forma factorizada utilizando uno de los métodos explicados a continuación. La factorización dará dos expresiones más cortas que darán el polinomio inicial si las multiplicamos una por la otra:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
En este ejemplo, (2x +3) y (3x + 2) son factores de la expresión inicial, 6x + 13x + 6. -
¡Comprueba tu trabajo! Multiplica los factores que has identificado. Luego combine los términos similares y listo. Comience con:(2x + 3) (3x + 2)
Comencemos probando esta expresión, multiplicando los términos de las dos expresiones para obtener:6x + 4x + 9x + 6
A partir de ahí, podemos agregar 4x y 9x porque son términos del mismo grado. Sabemos entonces que nuestros factores son correctos porque caemos bien en la expresión de partida:6x + 13x + 6.
Método 1 Proceda por prueba y error
Si se trata de un polinomio bastante simple, debería poder encontrar su descomposición como un producto de factor de un vistazo. Por ejemplo, muchos matemáticos pueden ver esa expresión. 4x + 4x + 1 da los factores (2x + 1) y (2x + 1) por hábito y con experiencia (obviamente, esto no es tan simple en el caso de polinomios complejos). Para este ejemplo, tomemos una expresión menos común:
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Haga una lista de factores de coeficientes tiene y c. Usando la expresión de la forma ax + bx + c = 0, identificar los coeficientes tiene y c y enumere los factores correspondientes. Para: 3x + 2x - 8, esto da:a = 3 y tiene solo un par de factores: 1 * 3 c = -8 y cuatro pares de factores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 y -1 * 8 .. -
Escriba en su hoja de papel dos pares de paréntesis con espacio para escribir dentro de ellos. Ingresará las constantes para cada expresión en el espacio provisto:(x) (x). -
Antes de la x, escriba un par de posibles factores para el coeficiente tiene. Para el coeficiente tiene en nuestro ejemplo, 3x, solo hay una posibilidad:(3x) (1x). -
Luego complete los dos espacios vacíos restantes con un par de factores para el coeficiente c. Tome por ejemplo 8 y 1. Escríbalos:(3x8) (X1). -
Decide ahora el signo (Más o menos) para colocar entre la xy el número que colocó después de él. Según el signo de la expresión original, es posible encontrar cuáles deberían ser los signos de las constantes. llamada h y k Las constantes de nuestros factores:Si ax + bx + c entonces (x + h) (x + k) Si ax - bx - co ax + bx - c entonces (x - h) (x + k) Si ax - bx + c entonces (x - h) (x - k)
En nuestro ejemplo, 3x + 2x - 8, los signos deben colocarse de la siguiente manera: (x - h) (x + k), lo que nos da los siguientes dos factores:(3x + 8) y (x - 1). -
Verifique su formulario factorizado al volver a desarrollarlo. Una primera prueba rápida es verificar si el término medio tiene el valor correcto. Si x no es bueno, entonces es posible que haya elegido el par de factores incorrecto para el coeficiente c. Veamos nuestros resultados:(3x + 8) (x - 1)
Al hacer una multiplicación, obtenemos:3x - 3x + 8x - 8
Agregando los términos similares (-3x) y (8x) para simplificar esta expresión, obtenemos:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Ahora sabemos que probablemente hemos identificado los factores equivocados:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Si es necesario, intercambie su elección de factores. En nuestro ejemplo, intentemos 2 y 4 en lugar de 1 y 8:(3x + 2) (x - 4)
Ahora nuestro coeficiente c es -8, pero las multiplicaciones (3x * -4) y (2 * x) dan -12x y 2x, que además no siempre dan el valor inicial de b, eso es + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Si es necesario, invierta el orden. Invertimos en nuestro ejemplo el lugar de 2 y 4:(3x + 4) (x - 2)
Ahora el coeficiente c siempre es bueno, pero los coeficientes de los términos en x valen esta vez -6x y 4x. Una vez agregado, esto da:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Estamos muy cerca del valor inicial de 2x que buscamos encontrar, pero el signo no es bueno. -
Verifique las señales nuevamente si es necesario. Ahora mantendremos el mismo orden, pero intercambiaremos los signos:(3x - 4) (x + 2)
El coeficiente antes c siempre es bueno, y los términos en x ahora valen (6x) y (-4x). Ya que :6x - 4x = 2x 2x = 2x Entonces obtenemos el 2x que teníamos originalmente. Entonces, probablemente encontramos los factores correctos.
Método 2 Proceder por descomposición
Este método nos permitirá identificar todos los factores posibles para obtener los coeficientes. tiene y c y úselos para identificar qué factores son los correctos. Si los números son muy grandes o los otros métodos de prueba y error parecen demasiado largos, puede usar este método. Tome el siguiente ejemplo:
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Multiplica el coeficiente tiene por el coeficiente c. En nuestro ejemplo, tiene es igual a 6 y c también es igual a 6.6 * 6 = 36. -
Encuentra el coeficiente b factorizando y luego probando los factores obtenidos. Estamos buscando dos números que sean factores del producto. tiene * c que hemos identificado y cuya suma vale el valor del coeficiente "b" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Introduce los dos números que acabas de obtener en tu ecuación; colóquelos delante de la x, de modo que su suma sea igual al coeficiente b. Tomemos las letras k y h para representar los dos números obtenidos, 4 y 9:ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Factoriza tu polinomio agrupando. Organice la ecuación para encontrar el factor común más grande de los dos primeros términos y el factor común más grande de los últimos dos términos. Debería obtener una suma de dos formas factorizadas idénticas. Sume los dos coeficientes juntos y póngalos entre paréntesis delante de su forma factorizada; entonces obtienes tus dos factores:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Método 3 El "juego triple"
Este método es muy similar al anterior. Consiste en examinar los posibles factores para los productos de los coeficientes. tiene y c, luego úselos para encontrar el valor de b. Tomemos por ejemplo la siguiente ecuación:
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Multiplica el coeficiente tiene por el coeficiente c. Al igual que con el método de descomposición, esto nos ayudará a identificar posibles candidatos para el coeficiente b. En nuestro ejemplo, tiene es igual a 8 y c Vale 2.8 * 2 = 16. -
Encuentra los dos números cuyo producto es el número que acabas de encontrar (16) y cuya suma da el coeficiente "b". Este paso es idéntico al del método de descomposición, es decir, probamos y rechazamos candidatos para constantes. El producto de los coeficientes. tiene y c es igual a 16 y el coeficiente c es igual a 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Tome estos dos números y reemplácelos en la fórmula de "triple play". Tome los dos números del paso anterior: llamémoslos h y k - e introducirlos en la siguiente expresión:((ax + h) (ax + k)) / a
Entonces obtenemos:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Encuentre cuál de las expresiones entre paréntesis en el numerador es divisible por el coeficiente tiene. En este ejemplo, probamos si (8x + 8) o (8x + 2) se pueden dividir entre 8. (8x + 8) es divisible por 8, luego dividiremos esta expresión entre tiene y deja la otra expresión como es.(8x + 8) = 8 (x + 1)
La expresión que mantenemos aquí es la que queda después de la división por el coeficiente tiene : (x + 1). -
Encuentre, si existe, un factor común más grande en ambos paréntesis. En nuestro ejemplo, la segunda expresión tiene un factor común mayor de 2, ya que 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combina esta respuesta con la expresión que encontraste en el paso anterior. Por lo tanto, ha encontrado los dos factores de su polinomio.2 (x + 1) (4x + 1).
Método 4 Diferencia de dos cuadrados
Algunos coeficientes de los polinomios se pueden identificar como "cuadrados", es decir, como productos de la multiplicación de dos números. Al identificar estos cuadrados, puede factorizar algunos polinomios mucho más rápido. Tomemos por ejemplo la ecuación:
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Comience factorizando todo en un factor común más grande si es posible. En nuestro ejemplo, vemos 27 y 12, los cuales son divisibles por 3, por lo que podemos "reventar" la expresión inicial de la siguiente manera:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Identifica si los coeficientes de tu ecuación son números cuadrados. Para usar este método, debe poder encontrar raíces cuadradas para sus coeficientes (tenga en cuenta que no consideramos signos negativos, ya que estamos tratando con cuadrados, pueden ser el producto de dos números positivos o negativo)9x = 3x * 3x y 4 = 2 * 2. -
Usando las raíces cuadradas que encontraste, escribe tus factores. Toma los valores de tiene y c encontrado previamente tiene = 9 y c = 4 - antes de encontrar su raíz cuadrada - √tiene = 3 y √c = 2. Estos serán los coeficientes de nuestras expresiones factorizadas:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Método 5 de 5: Usa la fórmula cuadrática
Si todos los métodos anteriores han fallado y no puede encontrar los factores correctos para su ecuación, utilice la fórmula cuadrática. Tome el siguiente ejemplo:
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Tome los valores de los coeficientes "a", "b" y "c" y reemplácelos en la siguiente fórmula cuadrática:x = -b ± √ (b - 4ac)
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2a
Entonces obtenemos la expresión:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Resuelve la ecuación para encontrar x. Como puede ver arriba, debe obtener dos valores de x:
x = -2 + √ (3) o x = -2 - √ (3). -
Usa el valor de x para encontrar los factores. Ingrese los valores de x obtenidos previamente como constantes de las dos expresiones polinómicas. Estos serán tus factores. llamada h y k los valores de x, y escriba las dos formas factorizadas:(x - h) (x - k)
En este caso, el resultado final es:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Método 6 de 4: Usa una calculadora
Si puede usar una calculadora gráfica, tenga en cuenta que esto facilitará enormemente su tarea, especialmente durante los exámenes. Estas instrucciones solo son válidas para calculadoras gráficas de la marca Texas Instrument. Tomemos por ejemplo la siguiente ecuación:
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Ingrese su ecuación en la calculadora. Deberá utilizar la "ecuación de resolución", es decir, la pantalla. -
Haz una representación gráfica de tu ecuación en la calculadora. Después de ingresar la ecuación, presione - entonces debería ver aparecer la representación gráfica de la curva (más precisamente, obtendrá un "arco" porque está trabajando en polinomios). -
Encuentre los puntos de intersección del arco con el eje x (x). Como las ecuaciones polinómicas se escriben tradicionalmente en la forma: ax + bx + c = 0, estos son los dos valores de x para los que la expresión es igual a cero:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Si no puede leer los valores de donde su curva cruza el eje x, presione entonces. Presione o seleccione "cero". Mueva el cursor a la izquierda de una de las intersecciones y presione. Luego mueva el cursor a la derecha de esta intersección y presione nuevamente. Luego, mueva el cursor lo más cerca posible de la intersección y presione nuevamente. La calculadora encontrará el valor de x. Haga lo mismo a continuación para la otra intersección.
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Finalmente, introduzca los valores de x obtenidos en el paso anterior en una expresión de dos factores. Si llamamos h y k nuestros dos valores de x, usaremos la siguiente expresión:(x - h) (x - k) = 0
Y así, obtendremos los siguientes dos factores:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Un lápiz
- Papel
- Una ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática)
- Una calculadora gráfica (opcional)