Conocimiento

Cómo factorizar un trinomio

Posted on
Autor: Monica Porter
Fecha De Creación: 16 Marcha 2021
Fecha De Actualización: 1 Mes De Julio 2024
Anonim
Cómo factorizar un trinomio - Conocimiento
Cómo factorizar un trinomio - Conocimiento

Contenido

En este artículo: Aprender a factorizar x2 + bx + Aprender a factorizar trinomios más complicados Algunos casos especiales de factorizaciones trinomiales6 Referencias

Como su nombre lo indica, un trinomio es una expresión matemática que toma la forma de una suma de tres términos. Muy a menudo, comenzamos a estudiar los trinomios de segundo grado que se suscriben así: ax + bx + c. Hay varias formas de factorizar un trinomio de segundo grado. Con práctica, llegarás allí sin dificultad. Los métodos que vamos a ver no se aplican a los trinomios de mayor grado (con x o x). Sin embargo, trabajando estos últimos trinomios, uno puede recurrir a trinomios de segundo grado. Vemos todo esto en detalle.


etapas

Parte 1 Aprender a factorizar x + bx + c



  1. Utiliza el método SIDS. Puede que lo sepas, pero recordemos de qué se trata. Cuando tiene que desarrollar un producto de binomios - (x + 2) (x + 4), por ejemplo - tiene que sumar los productos de los diferentes términos en el orden "Primero, Externo, Interno, Último". En detalle, esto da:
    • multiplicar primero términos entre ellos:x+2)(x+4) = x + __
    • multiplica los términos externo entre ellos : (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • multiplica los términos interna entre ellos: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • multiplicar más reciente términos entre ellos: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Termine simplificando: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Comprende qué es la factorización. Cuando desarrollas el producto de dos pares, obtienes un trinomio de la forma: tienex +bx +c, a, byc son números reales. Cuando hacemos la operación inversa, pasamos del producto trinomial al binomial, decimos que factorises.
    • En aras de la claridad, los términos de un trinomio deben clasificarse en orden de poder decreciente. Entonces, si te damos: 3x - 10 + x, tienes que reescribir en orden: x + 3x - 10.
    • El mayor exponente es 2 (x), hablamos del trinomio de "segundo grado".



  3. Al comienzo de la factorización, ponemos la forma del producto de binomios. Escribir: (__ __)(__ __). Llenaremos gradualmente los espacios que quedan libres, así como los signos.
    • Por el momento no ponemos ningún signo (+ o -) entre los dos términos de los binomios.




  4. Debes comenzar por encontrar los primeros términos de cada par. Si su trinomio comienza con x, los dos primeros términos de los pares necesariamente x y xya que x veces x = x.
    • Nuestro ser trinomial inicial: x + 3x - 10 y dado que no hay coeficiente en x, podemos escribir inmediatamente:
    • (x __) (x __)
    • Más adelante veremos cómo se procede cuando el coeficiente de x es diferente de 1, como 6x o -x. Por el momento, nos quedamos con este caso simple.



  5. Intenta adivinar cuáles serán los últimos términos de los pares. Revise cómo, con el método PEID, se han desarrollado los últimos términos de los binomios. Ahora debemos hacer lo contrario. Luego multiplicamos los dos últimos términos para obtener el último término ("constante") del trinomio. Entonces, tendrás que encontrar dos números que, multiplicados entre ellos, te darán la constante del trinomio.
    • En nuestro ejemplo: x + 3x - 10, la constante es -10.
    • ¿Cuáles son los factores de -10? ¿Cuáles son los dos números que, multiplicados entre ellos, te darán -10?
    • Aquí están todos los casos posibles: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 y 2 x -5. Escribe estas combinaciones en algún lugar para que las recuerdes.
    • Por ahora, su producto binomial permanece sin cambios. Él siempre se ve así: (x __) (x __).



  6. Prueba las diferentes combinaciones. Desde la constante, ha logrado identificar algunas combinaciones de factores, cuáles deben funcionar (si el trinomio es reducible). En este punto, no hay otras soluciones que probar cada combinación para ver si una de ellas satisface el trinomio. Por ejemplo :
    • En nuestro ejemplo, la suma del producto "Externo" y el producto "Interno" debe ser 3x (tomado de x + 3x - 1)
    • Tome la combinación de -1 y 10: (x - 1) (x + 10). La suma del producto "Externo" y el producto "Interno" da: 10x - x = 9x. No funciona !
    • Tome la combinación 1 y -10: (x + 1) (x - 10). La suma del producto "Externo" y el producto "Interno" da: -10x + x = -9x. ¡Todavía no se va! Notarás de paso que esta última verificación fue inútil. De hecho, el par (-1.10) da 9x y el par (1, -10) da -9x. Así que solo prueba un solo par.
    • Tome la combinación -2 y 5: (x - 2) (x + 5). La suma del producto "Externo" y el producto "Interno" da: 5x - 2x = 3x. Eureka! La respuesta es: (x - 2) (x + 5).
    • En el caso de trinomios tan simples como este (comenzando con x), podemos hacer más corto. Simplemente agregue los dos factores potenciales, agregue "x" al final y verá de inmediato si es la combinación correcta. Ahí lo haces: -2 + 5 → 3x. Si x está flanqueado por un coeficiente, entonces el método no funciona, por lo que es bueno recordar el método detallado.

Parte 2 Aprender a factorizar trinomios más complicados



  1. Factoriza tu trinomio en un trinomio más simple. Suponga que tiene que factorizar el siguiente trinomio: 3x + 9x - 30. Intente ver si no hay un divisor común a los tres términos. Luego tomamos el más grande (si hay varios), de donde proviene su nombre de "Divisor común más grande" (o PGCD). En nuestro trinomio será 3. Veamos esto en detalle:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Por lo tanto, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Por lo tanto, es fácil factorizar el segundo paréntesis de acuerdo con el método descrito anteriormente. Obtenemos lo siguiente: (3) (x-2) (x + 5). No debemos olvidar el 3 poner en factor



  2. A veces no podemos factorizar números reales, sino cantidades con incógnitas. Así podemos factorizar "x", "y" o "xy". He aquí algunos ejemplos :
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Luego, por supuesto, factorizar el nuevo trinomio como vimos anteriormente. Haga una comprobación para ver si no hay errores. Practique con los ejercicios sugeridos al final de este artículo.



  3. Intenta factorizar trinomios con una x flanqueada por un coeficiente. Algunos trinomios de segundo grado son más difíciles de factorizar, la imagen de 3x + 10x + 8. Veremos cómo procedemos, luego lo que puede entrenar con los ejercicios propuestos al final del artículo. Así es como operamos:
    • Pregunta el producto de pares: (__ __)(__ __)
    • Cada uno de los dos términos "Primero" debe tener una "x" y el producto de ambos debe ser 3x. Solo hay una posibilidad: (3x __) (x __), 3 siendo un número primo.
    • Encuentre los factores de 8. Hay dos posibilidades: 1 x 8 o 2 x 4.
    • Toma estas combinaciones para encontrar las constantes de los pares. Punto importante: como la "x" desconocida tiene coeficientes diferentes, el orden de la combinación es importante. Debes encontrar el final del medio, aquí, 10x. Aquí están las diferentes combinaciones:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x no!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x no!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x no!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x si! Esta es la factorización correcta.



  4. En presencia de un desconocido con un poder superior a 2, se puede crear una sustitución desconocida. Un día, seguramente tendrá que factorizar un trinomio del cuarto (x) o quinto grado (x). El objetivo es devolver este trinomio a algo conocido, es decir, un trinomio de segundo grado para factorizar sin problemas. Por ejemplo :
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Inventa un nuevo desconocido que simplificará el problema. Pondremos aquí que Y = x. Ponemos una Y mayúscula para recordar que es un sustituto. El trinomio se convierte en:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): factorizamos como en la parte 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). Es hora de reemplazar la sustitución desconocida con su verdadero valor:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Parte 3 Algunos casos especiales de trinomializaciones



  1. Busca posibles números primos. Vea si la constante y / o el coeficiente del primer o tercer término no serían números primos. Recuerde que se dice que un número es "primo" cuando solo es divisible por 1 o por sí mismo. A partir de esta definición, si encontramos un número primo en los lugares indicados anteriormente, el trinomio solo puede factorizar en la forma de un solo producto de binomios.
    • Por ejemplo, en x + 6x + 5, la constante 5 es un número primo, por lo que el producto binomial tendrá la forma: (__ 5) (__ 1)
    • En 3x + 10x + 8, el coeficiente 3 es un número primo, por lo que el producto de los binomios tendrá la forma: (3x __) (x __).
    • Finalmente, en 3x + 4x + 1, 3 y 1 siendo números primos, la única solución posible es: (3x + 1) (x + 1). Sin embargo, siempre verifique la combinación. Sucede que algunos trinomios no se pueden factorizar. Por lo tanto, 3x + 100x + 1 no se puede factorizar (decimos que es "irreducible"). Con 3 y 1, nunca obtendrás 100.



  2. Uno siempre debe pensar en el caso de un trinomio que sería el desarrollo de una identidad notable, un cuadrado perfecto para tomar solo este ejemplo. Por cuadrado perfecto nos referimos al producto de dos pares perfectamente idénticos: (x + 1) (x + 1) que escribimos (x + 1). Estos son algunos de estos cuadrados perfectos:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) yx - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) yx - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) yx - 6x + 9 = (x - 3)
    • Un trinomio tienex + bx + c es el desarrollo de un cuadrado perfecto si tiene y c son ellos mismos cuadrados positivos (como 1, 4, 9, 16, 25 ...) y si b (positivo o negativo) es igual a 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Vea si es posible factorizar. De hecho, yo soy trinomios que no pueden ser factorizados. Si tiene dificultades para factorizar un trinomio de la segunda forma canónica ax + bx + c, porque no hay raíces obvias, debe usar el método discriminante (Δ). Este último se calcula de la siguiente manera: Δ = √b - 4ac. Si Δ <0, entonces el trinomio no puede ser factorizado.
    • Para trinomios que no son de segundo grado, use el criterio de Eisenstein explicado en la sección "Consejos".